JARAK TITIK KE VEKTOR

Aplikasi vektor : Jarak titik ke garis lurus

Pada R2 , jarak titik A(x1,y1) ke garis ax+by+c=0 adalah
       Jaraknya =∣∣∣ax1+by1+ca2+b2√∣∣∣

Aplikasi vektor : Jarak titik ke bidang

Pada R3 , jarak titik b(x1,y1,z1) ke bidang ax+by+cz+d=0 adalah
       Jaraknya =∣∣∣ax1+by1+cz1a2+b2+c2√∣∣∣

♠ Pembuktian jarak titik ke garis lurus :
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut,

*). Misalkan kita pilih sembarang titik B(x2,y2) yang terletak pada garis ax+by+c=0 . Berikutnya kita buat vektor normal u⃗ =(ab) yang melalui titik B.
*). Titik B(x2,y2) terletak pada garis, artinya titik B bisa kita substitusikan ke persamaan garis ax+by+c=0 yaitu ax2+by2+c. Kita peroleh :
ax2+by2+c→c=−ax2−by2 ......(i)
*). Pada gambar, terbentuk vektor BA→ yaitu
BA→=a⃗ −b⃗ =(x1y1)−(x2y2)=(x1−x2y1−y2)
*). Kita proyeksikan vektor BA→ ke vektor normal u⃗  sehingga menghasilkan vektor c⃗ . Jarak titik A(x1,y1) ke garis ax+by+c=0 sama dengan panjang vektor proyeksi BA→ ke vektor u⃗ .
*). Menentukan jarak titik A(x1,y1) ke garis ax+by+c=0 dan dengan bentuk c=ax2−by2 :
Jarak =panjangproyeksivektorBA→keu⃗ =∣∣∣∣BA→.u⃗ |u⃗ |∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣(x1−x2y1−y2).(ab)a2+b2−−−−−−√∣∣∣∣∣∣=∣∣∣a(x1−x2)+b(y1−y2)a2+b2−−−−−−√∣∣∣=∣∣∣ax1−ax2+by1−by2a2+b2−−−−−−√∣∣∣=∣∣∣ax1+by1−ax2−by2a2+b2−−−−−−√∣∣∣=∣∣∣ax1+by1+ca2+b2−−−−−−√∣∣∣
Jadi, terbukti jaraknya =∣∣∣ax1+by1+ca2+b2√∣∣∣.

Dengan cara yang hampir mirip, kita bisa membuktikan rumus jarak titik ke bidang ax+by+cz+d=0.

Contoh soal Aplikasi Vektor : Jarak Titik ke Garis :

1). Tentukan jarak titik A(−1,2) ke garis 3x−4y+9=0 !
Penyelesaian :
*). Ada dua cara yang akan kita gunakan untuk menentukan jaraknya yaitu :
Cara I : menggunakan konsep vektor
-). vektor normal dari 3x−4y+9=0 adalah u⃗ =(3−4)
-). kita pilih titik yang terletak pada garis yaitu B(1,3).
-). Vektor BA→=a⃗ −b⃗ =(−12)−(13)=(−2−1)
-). Jarak titik A(−1,2) ke garis 3x−4y+9=0 sama dengan panjang proyeksi vektor BA→ ke vektor u⃗  :
Jarak =panjangproyeksivektorBA→keu⃗ =∣∣∣∣BA→.u⃗ |u⃗ |∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣(−2−1).(3−4)32+(−4)2−−−−−−−−−√∣∣∣∣∣∣=∣∣∣−2.3+(−1).(−4)9+16−−−−−√∣∣∣=∣∣∣−6+425−−√∣∣∣=∣∣∣−25∣∣∣=25
Jadi, jarak titik A(−1,2) ke garis 3x−4y+9=0 adalah 25 satuan.

Cara II : Rumus jarak titik ke garis :
-). jarak titik A(−1,2) ke garis 3x−4y+9=0 :
artinya titik (x1,y1)+(−1,2) dan a=3,b=−4.
-). Menenetukan jaraknya :
Jarak =∣∣∣ax1+by1+ca2+b2−−−−−−√∣∣∣=∣∣∣∣∣3.(−1)−4.2+932+(−4)2−−−−−−−−−√∣∣∣∣∣=∣∣∣−3−8+925−−√∣∣∣=∣∣∣−25∣∣∣=25
Jadi, jarak titik A(−1,2) ke garis 3x−4y+9=0 adalah 25 satuan.

2). Tentukan jarak titik P(−1,2,3) ke bidang yang memiliki persamaan 2x−y+2z−8=0 !
Penyelesaian :
*). kita langsung menggunakan rumus jaraknya,
*). Diketahui titiknya (x1,y1,z1)=(−1,2,3)
*). persamaan bidangnya : 2x−y+2z−8=0→a=2,b=−1,c=2
*). Menentukan jaraknya :
Jarak =∣∣∣ax1+by1+cz1a2+b2+c2−−−−−−−−−−√∣∣∣=∣∣∣∣∣2.(−1)−2+2.3−822+(−1)2+22−−−−−−−−−−−−−√∣∣∣∣∣=∣∣∣−2−2+6−825−−√∣∣∣=∣∣∣−65∣∣∣=65
Jadi, jarak titik P(−1,2,3) ke bidang yang memiliki persamaan 2x−y+2z−8=0 adalah 65 satuan.

3). Jika jarak titik Q(1,k) ke garis 12x−5y+11=0 adalah 1 satuan dengan k<5, maka tentukan nilai k2−2k+3!
Penyelesaian :
*). Sifat nilai mutlak :
|x|=a→x=±a
*). Menentukan nilai k :
Jarak 111113±13=∣∣∣ax1+by1+ca2+b2−−−−−−√∣∣∣=∣∣∣∣∣12.1−5.k+11122+(−5)2−−−−−−−−−−√∣∣∣∣∣=∣∣∣12−5k+11169−−−√∣∣∣=∣∣∣23−5k169−−−√∣∣∣=∣∣∣23−5k13∣∣∣=|23−5k|=23−5k
23−5k=13→5k=10→k=2
23−5k=−13→5k=36→k=365
Karena k<5, maka k=2 yang memenuhi.
*). Menentukan nilai k2−2k+3 !
k2−2k+3=22−2.2+3=3 .
Jadi, nilai k2−2k+3=3.

Aplikasi Vektor : Jarak titik ke Garis pada dimensi Tiga

Misalkan jarak titik P ke garis g seperti gambar berikut :

Kita pilih titik A dan B yang ada pada garis g dimana vektor AB→ mewakili garis g. Kita bentuk vektor yang menghubungkan titik P ke garis g, misalkan kita pilih vektor AP→. Jarak titik P ke garis g adalah panjang vektor "komponen tegak lurus vektor AP→ terhadap vektor AB→" yaitu :
Jarak =∣∣∣∣AP→−(AP→.AB→|AB→|2)AB→∣∣∣∣